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(资料图)

由网友 dalianwmw 提供的答案：

π只是为方便计算圆周长面积等人为引入的一个参数，这个参数推导定义不是在完全准确的条件下进行的，所以π本身就是一个近似值，相应的用π计算出来的周长也是近似值，这就是用π计算的周长是无理数，而圆周长是固定的根本原因。

由网友 思考思考的动物 提供的答案：

在代数上，π＝3.1415926... 是一个无限不循环小数，直觉告诉我们它一直在变动的数。在几何上，直径等于1的圆周长度是π，生活常识告诉我们圆周是长度固定不变的曲线。但是，不管是代数还是几何都是同一个π，于是截然相反的直觉和常识中只有一个是对的，那就是常识，即：π是固定不变的。

那么，为什么我们在代数上的直觉错误呢？这和称作极限的数学概念有关。

极限最早是和一些悖论联系在一起的，其中最有名的莫属古希腊时期芝诺提出的追龟问题：

古希腊跑的最快的英雄阿基里斯追赶一只爬在前方的乌龟。阿基里斯对准乌龟的当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟已经向前爬了一段，于是阿基里斯又对准乌龟的新当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟又向前爬了一段，于是...。

这个循环会进行下去，我们的直觉告诉我们 阿基里斯 永远 追不上 乌龟。可是这又违反我们的生活常识：跑的快的人总可以追上跑的慢的人。同一个事物只能有一种可能，这里，常识是对的，直觉又是错的。

我们可通过具体分析找出问题之所在，设，阿基里斯 和 乌龟的 速度分别是 w 和 v，显然 w > v > 0，最初阿基里斯距离乌龟的距离是 l，则：

最初阿基里斯距离乌龟 l，阿基里斯跑完 l 用时 t₀＝l/w；

在 t₀ 时间里乌龟爬了 l₁＝vt₁＝v(l/v)＝l(v/w)，阿基里斯跑完 l₁ 用时 t₁＝l₁/w＝l/w(v/w)；

在 t₁ 时间里乌龟爬了 l₂＝vt₂ ＝l(v/w)²，阿基里斯跑完 l₂ 用时 t₂＝l₂/w＝l/w(v/w)²；

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...

在 tᵢ₋₁ 时间里乌龟爬了 lᵢ＝vtᵢ₋₁ ＝l(v/w)ⁱ ，阿基里斯跑完 lᵢ 用时 tᵢ=lᵢ /w=1/w(v/w)ⁱ；

...

令，q = v/w ，则阿基里斯追赶距离呈现如下序列：

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l, l q, l q², ..., l qⁱ, ...

第 i 轮追赶结束时，追赶总距离是：

Lᵢ = l + l q +l q² + ... + l qⁱ

等式两边同乘以 q，有：

q Lᵢ = l q + l q² + ... + l qⁱ + l qⁱ⁺¹ = (l + l q + l q² + ... + l qⁱ ) + l qⁱ⁺¹ - l = Lᵢ + l qⁱ⁺¹ - l

最终得到：

Lᵢ = l(1 - qⁱ⁺¹) / (1 -q)

阿基里斯对乌龟的追赶会一直进行下去，当 i → ∞ 时，由于 w > v > 0，故 0 < q < 1，所以 qⁱ⁺¹ → 0，进而 Lᵢ → l / (1 - q)。令 L = l / (1 - q)，L 就是阿基里斯刚好追上乌龟所跑的距离。

类似地，阿基里斯追赶所用的时间呈现如下序列：

l/w, l/w q, l/w q², ..., l/w qⁱ, ...

第 i 轮追赶结束时，追赶总用时是：

Tᵢ = l/w + l/w q +l/w q² + ... + l/w qⁱ

用上面的方法，可以算出：

Tᵢ = l (1 - qⁱ⁺¹) / (w - qw)

同理，当 i → ∞ 时， qⁱ⁺¹ → 0，进而 Tᵢ → l / (w - qw)。令 T = l / (w - qw)，T 就是阿基里斯刚好追上乌龟所用去的时间。

综上，阿基里斯追赶乌龟看似是无限循环下去的，但是随着循环次数的增加，追赶的距离和所花费的时间越来越小，以至于将他们加起来得到的总距离和时间都是固定有限的值，这刚好符合上面的常识。实际上，追赶问题仅仅是小学数学应用题，可以直接由联立方程：

L/w = T，l + Tv = L

解得：

L = l / (1 - v/w)，T = l / (w - v)

这和上面折腾了半天的结果完全相同。

追龟问题告诉我们：被分割为无限轮循环的动作序列，并不一定是会永不停歇的进行下去，因为每轮循环所占有的空间和所花费的时间可能会越来越小趋近于零。

到这里即便是事实摆在面前，肯定还有人像我一样，依然觉得追龟会一直进行下去，我是这样说服自己的：

直觉：一个无线的序列加起来怎么可能有限？可以，极端的例子 就是 可列个 0 加起来等于 0；

其实，在追龟问题求解过程中， L₀, L₁, L₂, ..., Lᵢ ... 也是一个序列，记为 { Lᵢ }，L 称为序列{ Lᵢ } 的极限，同样，T 称为序列 { Tᵢ } 的极限。并不是所有序列都有极限的，比如：

一尺之棰日取其半万世不竭。

每1天取一次，所以每次用时构成序列：

1, 1, 1, ...

第 i 次，总用时为：

Tᵢ = 1 i = i

当 i → ∞， Tᵢ → ∞，故 序列 {Tᵢ } 没有极限，即，所谓的：万世不竭。

回到 π 的问题。令 q = 1/10, 则 π 的 十进制小数 (3.1415926...) 的所有位数构成一个序列：

3, 1q, 4q², 1q³, ..., kᵢ qⁱ , ...

其中，kᵢ 是自然数 并且 0 ≤ kᵢ ≤ 9，数列部分和如下：

πᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

构成另外一个序列 { πᵢ } = π₀, π₁, π₂, ..., πᵢ , ... ，接下来就是判断 i → ∞ 时，πᵢ 是否有极限了。由于 kᵢ 不确定，所以我们不能使用追龟问题的方法将 πᵢ 具体求出来，再进行判断。不过好在数学家研究了实数空间，发现它是完备的，即，所有 柯西列 的极限都存在。 于是我们只要证明 { πᵢ } 是柯西列就可以了：

根据柯西列定义，如果序列 {aᵢ} 对于任意小的 ε > 0 都能找到 自然数 N 使得对于任意自然数 u, v > N，都有 | aᵤ - aᵥ | < ε，则称 {aᵢ} 是柯西列。

对于任意的 ε > 0，一定存在 N 使得 qᴺ < ε，对于任意 u, v > N，不妨设 u > v，则有：

| πᵤ - πᵥ | = πᵤ - πᵥ = kᵥ₊₁ qᵛ⁺¹ + ... + kᵤ qᵘ ≤ 9 qᵛ⁺¹ + ... + 9 qᵘ = 9 qᵛ⁺¹ (1 - qᵘ₋ᵛ) / (1 - q)

将 q = 1/10 带入，有：

| πᵤ - πᵥ | ≤ 9 (1/10)ᵛ⁺¹ (1 - (1/10)ᵘ₋ᵛ) / (1 - 1/10) = (1/10)ᵛ - (1/10)ᵘ = qᵛ - qᵘ

因为 qᵘ > 0，所以：

| πᵤ - πᵥ | < qᵛ

又因为 v > N, 所以 qᵛ < qᴺ ，于是最终有：

| πᵤ - πᵥ | < qᴺ < ε

这就证明了 { πᵢ } 是柯西列，故，当 i → ∞ 时，πᵢ 的极限存在，它就是 π。

这个证明过程并没有，将序列中的每一项计算出来，因此在时间和空间上，这个证明 也是有限的，也就是说“π是固定的”可以在有限的空间和时间中确定，所以“π是固定的”是事实。这和我们的几何常识 相符。

但是，由于我们并没有具体计算出来每个 {πᵢ}，所以我们依然不知道 π 的具体 值。想知道 π 的值只能老老实实 计算，每次计算所花时间基本相等，所以 “计算 π 值”这件事件是永远不会结束的。

注意：知道一个数是固定的 和 知道它的确切值 是两回事情，后者蕴涵前者，前者不蕴涵后者。

无限不循环小数，3.1415926... 就是 { πᵢ } 的极限 π，是固定的数字。只是我们不能在有限的时间内确定它的所有小数位。

我们也可以这样理解：阿基里斯追赶一个前方变速爬行的乌龟，阿基里斯的速度是 w，乌龟速度每轮都不一样，

起初，阿基里斯距离乌龟 l₀ = 3 ， 阿基里斯追赶 l₀ 用时 t₀ = l₀ / w = 3/w；

在 t₀ 时间里乌龟爬了 l₁ = 1q，阿基里斯追赶 l₁ 用时 t₁ = l₁ / w = 1/wq；

在 t₁ 时间里乌龟爬了 l₂＝4q²，阿基里斯追赶 l₂ 用时 t₂＝l₂/w＝4/wq²；

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...

在 tᵢ₋₁ 时间里乌龟爬了 lᵢ＝kᵢqⁱ ，阿基里斯追赶 lᵢ 用时 tᵢ=lᵢ /w=kᵢ/wqⁱ；

...

第 i 轮追赶结束时，追赶总距离和总时间是：

Lᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

Tᵢ = (3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ )/w

随着，追赶轮次的增加，乌龟爬行距离越来越短，阿基里斯追赶时间也越来越短，最终 当 i → ∞ 时，Lᵢ → π，Tᵢ → π/w。所以，阿基里斯和乌龟证明了 追赶 π 这么长距离 这件事，在有限的时间和空间是可以完成的，故 π 一定是固定不变的。

最后，大家有没有发现 {πᵢ} 中的每一项 都是有理数，而 {πᵢ} 的极限 π 却是 无理数？

其实，数学家证明了，有理集在实数轴上稠密。所谓稠密就是指：实数轴上任何一个点（包括无理数），都可以找到一个有理数序列，使得后者的极限是前者。

这和 {πᵢ} 的极限是 π 相符合。

极限是 π 的有理数序列并不唯一，比如：

圆的内接正 i 边形周长 Cᵢ ；

Sᵢ = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + ...；

都是极限趋近于 π 的有理数序列。

由网友 徐晓亚然 提供的答案：

圆周率当然是无理数，所谓无理数指的是那些无限不循环的小数，也就是无法写成整数之比的数。人类认识到π是无理数的时间并不是特别久，应该要比认识到根号2还要晚，毕竟π不是那么容易能说清楚具体的构造方式的。

既然π是无理数，那么也就是我们不管计算到它的小数点后多少万亿位，始终都是不准确的了？可是现实中，你规定好一个圆的半径和圆心，这个圆的所有特征就完全被确定下来了啊，周长，面积等等。

首先，我们要明确一个概念，某个具体半径的圆周长是一个固定值，但并不代表我们就可以把这个固定的值准确求出来。

比如，任意的一元n次方程总是有n个解，不管这个解是实根还是复根，反正这些总是可观存在的，但是这不意味着你就可以把这些解求出来。历史上很多人痴迷于五次方程的根式解一样，认为一定存在，并且只要我们努力就一定能够的出来这样的根式解法，可惜，拉格朗日等等。尤其是在高斯得到了算术基本定理（一元n次方程总是有n个解）之后，这个想法更加让人痴狂。然而从来没有人成功，直到有个天才伽罗瓦站出来，用自己的理论证明了，没有这样的根式解法，这场数学战争才算是结束。

我们在求解积分的时候，很多形式的积分看起来很简单，可是你就是求不出原函数，那就只好一直用积分符号来表示了，虽然你看着难受。但是你却不能说原函数不存在，原函数一直都存在，只是我们用现有的数学方法表示不出来而已。

微分方程是解释这个世界很多现象最精准的数学工具，甚至可以说没有之一。有些微分方程，如果你了解它的成立过程，你会觉得没有什么比它还要精简干练了。许许多多重要微分方程的求解过程，可能要耗尽一个数学家一生的精力，然而你求不出来就是求不出来，并不代表这个解不存在。就像千禧年七大难题之一的纳威斯托克斯方程一样，就是难以求解。

所以，这两个问题之间并不矛盾。这里的π只是一个代号，你用a,b,c同样可以，只不过为了推演方便，等到我们真正需要数值计算的时候，随时将π任意精度的数值代入即可。

与其说这是一个数学问题，不如说这是一个哲学问题。我们竭尽所能去得到的结果，可能永远都不是最后的事实，虽然这个事实一直存在且固定着。

由网友 犬足 提供的答案：

数学在现实里就是个笑话。3个苹果，3是整数，对吧！但是如果精确一些，3个苹果无论形状，口感，重量，色泽，都有不同差异，"这么大的差异，凭什么出现3这个整数呢？还不是方便我们统计。也许你很不服气，但是你要知道，一英寸的由来有多可笑，一英寸是三粒小麦的长度，至于为什么，因为下定义的那哥们是国王，就这么简单粗暴。同理，有一天哪个大神高兴，把3.14这个无限不循环小数定义为1，这个整数，那也没有任何影响，只不过对应的现在所谓的整数全都成了无限不循环小数，但是会对应的诞生另外一批整数。话说，无限不循环小数对应的整数后位数上写上.000000000,在你想停的"位置上写0001，那么这个带无限0的整数，在现实对你来说，有什么不同。我只不过拿了一个不一样的苹果，我才不会在乎它和另一个苹果里的分子数量有什么不同。（我感觉我写的太乱了，自己都看不懂）

由网友 优美生态环境保卫者 提供的答案：

圆周率是我们应用最为广泛的数学概念之一，它描述的是一个圆的周长与直径的比值。在我们的惯性思维中，如果给定一个值，以这个值作为一个圆的直径，那么我们就会画出一个固定的圆，这个圆的大小也就确定了下来，无论是它的周长还是面积都是一个固定值。

在这里如果我们的思维转不过弯，就会产生一个疑问，那就是这个圆一旦确定了下来，它的直径和周长就会被确定，而它们之间的比值为π，由于π是一个无理数，也就是无限不循环小数，我们无法精确它的大小，所以也不能将圆的周长确定下来，这中间似乎存在着矛盾，如何理解这个问题呢？

圆作为人们日常生活中经常接触到的形状，在很早以前人们就意识到圆的周长与直径之间存在着某种密切的联系。古希腊“大拿”阿基米德在2200多年前，利用圆的内接和外切正多边形的方法，通过穷竭算法，计算出圆的周长与直径的比值即圆周率的数值范围，在3.1408和3.1429之间。

我国西汉时期的儒学家刘歆，以铜斛为工具计算出圆周率为3.15471。三国时期的数学家刘徽，开创了圆内接正多边形的割圆术，后来南北朝数学家祖冲之在此基础上，计算出了圆周率处在3.1415926和3.1415927之间，这种精度很长时间以来都在世界上保持领先，目前我们在这个精度内，也可以解决大部分关于圆的计算问题。

圆周率的计算历史，从一开始的粗略计算，到后来认识到周长与直径之比是一个定值，再到不断优化方法提高精确度，是人们持之以恒探究数学魅力的一个缩影，一直到现代，随着计算机技术的发展，圆周率已经被人类计算到小数点之后31.4万亿位了。而因为圆周率是一个无理数，永远无法表达成两个有理数的比值，所以也就永远算不到最后一位。

关于圆周率是无理数的证明过程，这里就不详细说明了，没有一定高等数学基础的朋友估计看不太明白。不过证明的原理很简单，就是利用反证法，既然无理数的定义是不能表达成两个自然数的比值，我们就假设它可以表达为两个自然的比值，通过构建特殊的函数，并且利用积分的方法，分别推导出f(x)sinx在[0, π]上的积分是正整数和趋向于0的矛盾，故而反证假设条件不成立，所以最终得出π是无理数的结果。

再回到最初的问题上来，既然π是无理数，为什么在我们的潜意识里，给出一个圆的直径，就意味着这个圆的周长就能确定下来呢？这里面就涉及到纯粹的数学概念与实际测量之间的差异问题。举个简单易懂的例子，沙漠是由无数沙粒所组成，在特定的时刻，沙漠中沙粒的数量肯定是个确定值，但是我们却无法测量出来。再从数学角度举个例子，比如1/3这个有理数，它可以用无限循环的小数来表示，如果给定一个物体，把它平分成三部分，每部分的大小也肯定是一个固定值，但是在现实中我们如果分割这个物体，也只能无限接近1/3这个数值，根本不可能准确地达到这个数值。

再比如，我们在一个坐标系的X横坐标上，随意选择一个点，那么它是无理数的可能性要比有理数大得多，因为任意两个实数点之间，都存在着无数个无理数。而你想要确定根号2等等这些无理数的具体位置，在实际操作中也只能近似去估测，无限去接近它所在的位置，而不能完全准确地点到它实际存在的位置。根号2所在的位置，本来肯定是固定的，但我们却无能为力去准确定位它。

圆周率同样如此，我们给定了一个圆的直径确定值，那么它的周长也就固定了下来，但是我们却不能准确去度量周长的具体值，就是这个道理。相反地，假如我们给定一个圆的周长值，那么它的直径值也被固定了下来，但我们也无法完全准确地知道直径的个体数值，而只能根据精度的需要来确定它的范围。

因此，一个圆的直径确定了，那么它的周长也确定了，这个结果与周长是无理数两个结论之间并没有矛盾。周长是无理数，表明它是一个固定值，只是我们测量不出、也计算不出它的完全准确数值而已。

由网友 树木也要树人 提供的答案：

直接上图（不好意思关于这方面可能也就是大众水平，简要谈一下自己看法）

无理数，无限不循环小数，但不等于他不是固定的，恰恰相反，它是固定的。

初中数学知识：任何一个实数都能够在数轴上找到位置！而且，数轴上任意一点，它是无理数的概率比有理数要大得多。（比买张彩票中头奖概率还要低，如果是任意的，基本上你是不可能碰到有理数的）那么根据数轴上原点到该点距离就是其本身，至少来说，这个可视的距离是固定！

就像上图中根号2，根号10一样，长度是固定的！

你拿米尺测量，可能根号2大概1.4，拿20cm直尺去测，可能1.41多一点，用软件去测，取决于你所选取的小数位数，可能是1.414之类不等！

1.能不能固定相对面就是会不会变化，π是一个确定的值，所以圆周是固定的。为什么给人错觉圆周是不确定的，因为π是一个无穷无尽不循环小数，总有人认为取π前三位小数位计算和π四位位计算得到结果不一样。例如，直径10000的一个圆，算出来是31410和31415，这些都是近似值，精确值应该表述为10000π。近似值随着精读会变化，但是准确的只有一个。面积同理。

2.到底有没有完美的圆。我们接触的客观世界是没有完美圆的（正圆），但是数学或者学科模型上是存在的（理想化情况，忽略线宽，占位等）回到圆的定义:平面上到某一个点长度等于一个固定值点集合。在客观世界，由于线宽（宏观），分子体积（微观）是不可能做到绝对平滑的，也就是说，放大到极致比如几千上万倍，你看到的就是不平滑边缘。（球同理，球是一个空间模型）

假装一条第一次补充和第二次补充的分割线

3.十进制确实无限不循环，如果认为规定一个π进制，那么π就是这种进制下的一个最小“两位正整数”，不过那时，客观世界将乱成一锅粥了吧！画面不敢想象。不过这时候，仍然是无理数。

感谢评论区指出的不周之处

当半径是以π或者π的有理数倍数为分母的时候，确实圆周是一个有理数，和我文中提到有出入。这一点确实是没想到的地方，谢谢读者指出。以上建立在直径（半径）为有理数的条件下做出的论断。

由网友 航小北的日常科普 提供的答案：

这位朋友，我想你可能是搞错了很多数学概念吧。

Pi这个数字确实是无理数，但是圆的周长不一定无理数，比如说直径是10/Pi的圆，这个圆的周长就是10，不是一个无理数。

也许有人要问了：10/Pi是什么数？这个数存在吗？为什么一个圆的直径可以是这么一个数？

10/Pi这个数当然存在了，这个数就是10/Pi，这个数的性质就是与Pi相乘等于10，圆的直径也可以是任何数，可以是1，可以是2，可以是根号2，可以是Pi，当然也可以是10/Pi。所以确实有这么一个圆，它的周长为10，这是没有任何问题的。

那么有人就要问了：这个数字的小数位数不是无限的吗？小数位数无限的数还能是固定的吗？我倒要反过来问了：为什么小数位数是无限位的数就不能是固定的？

比如说，1这个数字，这个数字实际上是1.0000000...

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1这个数字是固定的，因为这个小数点前的数字是1，小数点后第一位是0，第二位是0……每一位都有一个固定的数字，直至无穷，所以1这个数字是固定的、确定的。

但是Pi这个数字也是一样呀，Pi=3.1415...，这个数字小数点前的数字是3，小数点后第一位是1，第二位是4……每一位都有一个固定的数字，直至无穷，所以Pi这个数字是固定的、确定的。

肯定有杠精会抬杠，跟我说：你现在告诉我Pi的第一万亿亿亿亿亿亿亿亿……位数字是什么。

我只能说，现在还不知道，但是这个小数位上的数字是确定的。

杠精肯定还不服气：你不知道还说这个数字是确定的？

我会回答他：我确实不知道，但是我不知道不代表这个数字不是确定的，因为从一开始定义的时候这个数字Pi是唯一的。而决定Pi是唯一的根据是由几何学公理推导出来的，因为圆的周长与半径的比值就是一个确定的数字。这个数字就存在在那里，我们人类只是通过不断求解来逐渐揭示这个数字各个小数位上是数字几而已。

Pi是无理数不错，但是不代表圆的周长就是无理数，圆的周长也可以是有理数；同时，就算是圆的周长是无理数，圆的周长也是固定的，因为任何无理数虽然小数位数是无穷多的，但是这无穷多的小数位上每一位数字都是确定的，所以这个无理数也是确定的。

由网友 小光明境 提供的答案：

你说的两点基本上都对，现实中你画一个圆，或者你找到一个圆的物体，这个圆的周长是无理数的概率是100%。之所以只说基本上，而不说绝对，只是因为在数学概念上，你可先确定周长为有理数，再确定这个圆。当然，这只能存在于数学概念上，实际根本做不到，因为取不到长度为有理数的一个线段。

圆的周长是无理数和圆的周长是固定的，两者并不矛盾。

这么说吧，在数轴上，你随机取一个点，它是有理数的概率为0，是无理数的概率为1。

对应到现实生活中，你能接触到的任何一个实际物体的尺度，无论是长度、面积还是体积，它的数值肯定都是无理数。注意，这里说的是实际物体，不是数学概念上的图形。(修改注:这里的前提是不考虑物理尺度的最小量。如果考虑物理上的普朗克长度为最小量，那结论又反过来了，所有现实尺度都是有理数了。不过不影响数学意义上的结论。)

究其原因，是因为无理数的数量要远远多于有理数（这么说不严谨，只为便于理解）。虽然有理数是无限多，无理数也是无限多，但两者差别却很大。用通俗的话来说，就是任意两个不同的有理数之间，都有无穷多个无理数。但反过来就不是了。

举个例子来说，在一面墙上以地面和一侧为基准，确定墙上每个点的横坐标和纵坐标，如果其中有一个是有理数就把该点涂上黑色，如果两个值都是无理数，那就涂上白色。那么整面墙都涂上颜色以后，你看到的只有白色，不会看到一个黑点。

希望能够帮助你理解。若里面有不严谨的地方，请指教，谢谢。