03-有理数为什么有理？

2023-08-29 22:38:26 来源:哔哩哔哩

我们之前已经复习了负数的概念, 也学习了简单的集合论基础知识。接下来我们就在这两个知识点的基础上，重新梳理认识一下我们所学习过的数。

各种类型的数, 认识有理数

回想一下，从小学到初中，我们都学习了哪些数呢?

从小学,我们就学习了1,2,3,… 类似这样的数，我们称作正整数.

(资料图)

类似 -1, -2, -3 这样的数,我们称作负整数.

我们还有一个特殊的数零: 0。 0 是整数，但不是正数也不是负数。

我们还学习过分数：比如1/2，2/3等。仿照正整数和负整数的分类分数也可以分为正分数和负分数。

整数和分数统称为有理数(rational number)。按照上边的定义，我们就有了下边的两个关系图：

第一个先分正负，再分是不是整数

第二个先分整数和分数，然后再分正负。

从集合的角度认识有理数

以上的分类看起来非常清晰，我们可以将上述的分类，用集合论的语言来描述一下，然后看一下他们有哪些关系。之所以用集合论的语言来描述，是为了让大家更加熟悉数学语言，养成良好的严谨的习惯。

基于上述的关系图，我们可以得到一些结论。比如：

正整数集是有理数集的一个子集

负整数集也是有理数集的一个子集

正整数集和负整数集的交集是空集

0是有理数集的一个元素，也是整数集的元素

有理数为什么叫有‘理’数?

有理数为什么叫有‘理’数? 难道它比其他的数有道理吗?大家了解了它的历史和名称以后，可以更加准确的了解有理数的概念。

有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，这本书是拉丁语写成。拉丁语意为理性、计算。重点注意一下”计算”这个概念, 说明这些说是可以计算出来的。这个其实就是指分数。

分数, 就是两个整数的比值, 比如: 5/6, 3/7等。早先人们就认为分数是通过整数计算得到的。

甚至整数, 其实也可以认为是一个整数除以1计算得到的。

所以,有理数除了上述的描述性定义,还可以用另外一个定义：能够表示成两个整数的比值的数。

明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文译为“理”，这个“理”在文言文中的意思是“比值”。

比如: 比例者, 两幾何以幾何相比之理
翻译: 比例是两个几何物相比的“理”，两个几何物，比如两个数，两条线，两个面，两个体，两两同类大小的比称为比例。译文中的“理”是指“比值”

明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”。

直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，都是“比值”。可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。以至于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一说法。所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。

有理数的英文是rational number, 其中ratio 也是代表比例的意思. 这个词在英语体系中,大概出现在1600年左右。远远晚于拉丁文。

古埃及对分数也有独特的认识。古埃及分数是分子为1，分母为正整数的数。其他的数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

小数与分数

不知道大家发现没有, 这里边我们一直在强调分数, 没有说小数

因为: 有些小数可以划归成分数, 比如：

= 1/4,

= 17/100

但是有一些数是不能表示成分数的。比如圆周率Pi，

这样的数就不在有理数的集合里边。不是我们当前学习的重点。

挑战一下

1. 有两个集合：正数集，负数集，说出下列数字分别属于哪个集合？

17， 2/3, -4, 1009, -34, -45/197

2. 13， , , - 是小数, 如何用分数表示?

你能用古埃及的方式表示一下吗？

3. 对于以下集合, 请描述他们的关系？

有理数集，正数集，负数集，整数集，分数集，

正整数集，负分数集负分数集，负整数集，等

4. 圆周率Pi 为什么不是有理数?

参考文献

[1]. Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and , sense .

[2]. Oxford English Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and , sense .

[3]. 人民教育出版社, 九年义务教科书, 数学, 七年级上,P6

[4]. 利玛窦，《几何原本》，卷五，界说十九则第三界

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