【全球播资讯】穷竭法的首创者——欧多克索斯

2023-06-24 16:22:56 来源:个人图书馆-12345csdms

2019-10-26 23:11生平

关于欧多克索斯生平的记载并不多，他生于小亚细亚西南部的尼多斯城。才开始学习了医学和数学，后来加入雅典的柏拉图学派，在埃及居住了一年，在赫里奥波里斯学习了天文学，后来移居到基齐库斯，在那里创建了自己的数学和天文学学派，读了许多关于哲学，天文学和气象学的书籍。大约公元前368年，欧多克索斯和自己的一部分学生返回到雅典，后来在故乡尼多斯去世。

数学贡献

欧多克索斯最著名的贡献，是他的比例论，他也是穷竭法的首创者。

他身兼天文学家、物理学家、几何学家、议员、地理学家，最著名的是他确立了天文学上关于天体运行的第一个理论。而他对于数学的伟大贡献，则是确立了关于比例的新理论。

【资料图】

由于无理数的发现越来越多，使得希腊人被迫面对它们。当时只有在几何学的讨论中，无理数才会出现，而正整数及其比值在几何学及一般关于量的讨论中屡见不鲜，使得人们怀疑无理数是否为真正的数？尤其甚者，一些涉及长度、面积、体积为有理数的证明，要如何拓展到无理数呢？

欧多克索斯介绍了量的观念，它并非数，却能代表诸如线段、角、面积、体积、时间等等这些能作连续变化的东西。其次，欧多克索斯定义量的比及比例，这种比例是两个比的一个等式，可以含盖可公度量〈相当于有理量〉和不可公度量〈相当于无理量〉之比。然而同样地，也不使用数字来表示这种比，比和比例的观念是紧密地与几何连在一起。

欧多克索斯的成就在于尽量避免赋予数值给线段长、角之大小、其他的量以及量的比，而可以回避过无理数。欧多克索斯这样的理论，提供无理数所必需的逻辑基础，使得希腊数学家们在几何方面获得突破性的进展。不过也因此使得数目和几何学分家，因为只有几何才能处理无理数。这样的结果将数学家局限为几何学家，使几何学几乎成为所有严密数学的基础达两百年之久。

除此之外，希腊人利用现在的穷竭法(逼近法)，来计算曲线形或曲面体的面积或体积的念头，也是由欧多克索斯引起的。借着逼近法，欧多克索斯证明了：两圆面积之比等于半径平方之比；球体的体积比等于半径的立方比；角锥、圆锥体积为同底等高柱体的三分之一。另外我们要注意的是，逼近法乃是微积分的基石，因此也有人说他是微积分的开山祖师。

比例论

在数学中，一个等比关系（proportion）指的是两个比例（英语：ratio 或 proportionality）的相等关系，记为

比例论（theory of proportion）是研究比例与等比关系的理论。

毕达哥拉斯学派的比例论

毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数） √2，这破坏了他们的比例论：

如果两个物体的比例是相同的，以数学式来表示，是一个等比关 a:b=c:d。其中，a,b,c,d 是正整数。而且，存在一个正整数n 使得a=nc 与 b=nd。

无理数的存在，表示物体的比例可能无法以正整数来表示，这破坏了他们以正整数来描述自然规律的哲学。

欧多克索斯的比例论

为了挽救比例论，尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。其中的第五条定义是其比例论的核心：

a:b=c:d 当且仅当底下三个等式关系成立：

其中 m,n 为正整数（几何量的整倍数）。

这个定义回避了数系的规范，因此，即使 a,b,c,d 是无理数，等比关系也可以成立。

穷竭法

穷竭法(method of exhaustion)，有时被误译为“穷举法”，是一种求图形面积的方法，其通过构造一个内接多边形序列，使这些多边形的面积收敛到所求图形面积。如果这个多边形序列构造得当，那么其第n项的面积与所求图形面积之差在n足够大时便可以小于任意给定正数。因为这个面积差可以任意小，是故该图形面积的可能值便系统性的被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界“穷竭”掉了。

此法思想始自公元前5世纪的安提丰，虽然不很清楚他对此法理解到什么程度。数十年后，这个理论由欧多克索斯加以严格化，用以计算面积和体积。此法于公元3世纪被中国的刘徽重新发明，用以计算圆面积。“穷竭法”这个名称是由Grégoire de Saint-Vincent于1647年在其著作《求圆与圆锥曲线的面积》(Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni)中首次使用。

▲阿基米德用穷举法计算圆内的面积(图自维基)

穷竭法被看作微积分方法的先导。解析几何与积分学在17世纪至19世纪的发展涵盖了穷竭法，所以此法不再被显式的运用。另一个重要的发展是Cavalieri原理，亦称作“不可分量法”，再进一步便引至Roberval, 托里拆利, Wallis, 莱布尼茨等人的无穷小量演算(infinitesimal calculus)，即标准微积分学的前身。

穷竭法在应用时一般须诉诸归谬法，后者是反证法的一种形式。具体来说就是，为了求某图形面积，而将其与第二个图形（该图形可以作“穷竭”式的变形，而使其面积任意接近所求面积）来作比较。证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪，接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。

参考资料:维基百科; http://210.243.8.14

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